Question

高中数学集合中的点集问题

设集合A={（x,y) | m/2≤（x-2)^2+y^2≤m^2, x,y∈R},B={(x,y) ｜　2m≤x＋y≤2m＋1，　x，y∈R｝，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是？

Answer 1

x+y=t  ,  (x-2)^2+y^2=s

y=t-x带入圆方程得   2x^2-(2t+4)x+(t^2+4-s)=0

存在交点说明  Δ=4[-(t-2)^2+2*s]≥0  

即存在s,t满足m/2≤s≤m^2     2m≤t≤2m+1   和 2s≥(t-2)^2

由m/2≤s≤m^2  得到m≥1/2或m≤0

若m≤0则对  注意到2m≤t≤2m+1≤1   

(t-2)^2 的最小值为（2m+1-2）^2=(2m-1)^2  最大值为（2m-2)^2

2s-(t-2)^2≤2m^2-(2m-1)^2=-2m^2+4m-1=-2(m-1)^2+1≤-2(0-1)^2+1=-1<0

即m≤0不可能有交点

所以m≥1/2

（1）对1/2≤m≤1   区间[2m,2m+1]包含2  ，

此时对任意m/2≤s≤m^2，存在t=2满足m≤t≤2m+1   和 2s≥(t-2)^2 

一定有交点

（2）对m>1  注意到2<2m≤t≤2m+1   

(t-2)^2 的最小值为（2m-2）^2  最大值为（2m-1)^2

2s 的最小值为m  最大值为2m^2

要有交点,需要 m≤(2m-1)^2  和（2m-2）^2≤2m^2

对m>1  有  (2m-1)^2-m=4m^2-5m+1=(4m-1)(m-1)>0  所以  m≤(2m-1)^2成立

而2m^2-（2m-2）^2=-2m^2+8m-4=-2(m-2)^2+4

要（2m-2）^2≤2m^2  需要2-根号2≤m≤2+根号2

注意到2-根号2<1 ，所以仅需m≤2+根号2

综合情况（1）（2）知m的范围为1/2≤m≤2+根号2

 

 

 

这是2011年江苏考题。

Answer 2

能不能呢个 直接给你答案 不写过程

Answer 3