Question

已知函数y=log(3)mx^+8x+n/x^+1的定义域为R，值域为【0，2】，求实数m,n的值

Answer 1

函数y=log<3>[(mx^+8x+n)/(x^+1)]的定义域为R，值域为[0，2]，
<==>u=(mx^+8x+n)/(x^+1)]的定义域为R，值域为[1,9],
∴u(x^+1)=mx^+8x+n,
∴（u-m)x^-8x+u-n=0,
∴△(x)=64-4(u-m)(u-n)>=0,
∴u^2-(m+n)u+mn-16<=0,
其解集是1<=u<=9,
∴1,9是方程u^2-(m+n)u+mn-16=0的两根，
由韦达定理，m+n=1+9=10,
mn-16=1*9=9.
解得m=n=5.

Answer 2

f(x)=log3((mx^2+8x+n)/(x^2+1)) 值域为[0,2]
所以0<=log3((mx^2+8x+n)/(x^2+1)) <=2
1<=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<=9
(1-m)x*x-8x-n+1<=0
(9-m)x*x-8x+9-n>=0
方程=0有唯一解 有△=0
64-4(1-m)(1-n)=0
64-4(9-m)(9-n)=0
1-m<0 9-m>0
所以解得m=5 n=5