Question

求线代大神帮忙回答问题！！！！！！！！！！

求大神帮忙回答线代问题：
1.A,B 为n阶正定矩阵，试证A+B亦为正定矩阵。
2.A,B 均为n阶正定矩阵，则下列不是正定矩阵的是（）
A.A-1+B-1 B.AB C.A*+B* D.2A+3B
3.A,B 为三阶相似矩阵，A的特征值为-2，-1，1，则 |E+AB|为多少？

第三个答案不知道是否存在，前两道题请给出具体过程（特别是第二道题，选项与题干之间的关系在哪里？），谢谢！
A选项表示的是A逆加B逆，C选项表示A伴随加B伴随

Answer 1

1、A=AT B=BT (A+B)T=AT+BT=A+B,故A+B也是正定（T表示转置的意思,下同)
2、对于A的证明：A=AT,B=BT,(A-)T=(AT)-=A-,(B-)T=(BT)-=B-，得出A-和B-也正定，由第一题结论可得A- + B-也正定
对于B，只有AB可交换时结论成立，假设AB正定，则AB首先对称，AB=（AB）T =BtAt，由A、B均正定得A=At，B=Bt，得到AB=BA可见只有AB可交换时结论成立。CD同样可证明是正确的，答案为B
3、AB相似，可知他们有相同的特征值和特征向量，并且矩阵对应的行列式的值为2，且均为可逆矩阵，E+AB的特征值为5、2、2故|E+AB|=20