Question

学霸~数学题求解 求具体

对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍？请你说明理由。
当实数m是什么值时，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的m倍？证明你的结论。

Answer 1

：（1）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．
则 x＋y＝2(a＋b) xy＝2ab
∴x，y是方程t2-2（a+b）t+2ab=0的两实根．
∵△=4（a+b）2-8ab=4（a2+b2）＞0，∴方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b矩形，存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形；

（2）设已知矩形的长与宽分别为a，b，所求矩形为x，y．
则 x＋y＝m(a＋b) xy＝mab
∴x，y是方程t2-m（a+b）t+mab=0的两实根．
当△=[m（a+b）]2-4mab≥0，即m≥4ab (a＋b)2 时，方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当m≥4ab (a＋b)2 时，存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．
∵（a-b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+b2+2ab≥4ab，
即（a+b）2≥4ab，4ab (a＋b)2 ≤1，
∴4ab (a＋b)2 的最大值为1．
∴当m≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形．

追问

x，y是方程t2-m（a+b）t+mab=0的两实根．
当△=[m（a+b）]2-4mab≥0，即m≥4ab (a＋b)2 时这步怎么转换的呀，，，学霸

追答

是4ab除以(a+b）2，sorry没写清楚。。。这下你应该知道了吧。。。。不懂再问

追问

△=[m（a+b）]2-4mab≥0，即m≥4ab (a＋b)2还是看不懂呀啊啊啊啊。。。。求具体解答~

追答

把4mab移到右边，再约掉一个m，因为m大于0，所以符合不变，再把（a加b）平方除过去，懂了吗