Question

一道物理竞赛题

一块石头以初速度VO以α斜抛，最大高度为H，一小鸟同样以速度VO沿该轨迹运动，求鸟运动到H/2的加速度.......

Answer 1

解：本题关键是利用这两个运动H/2处曲率半径相同，

根据向心力公式找出两种运动的加速度的关系，特别重要的是求出平抛运动的向心加速度，需要把重力加速度分解出垂直于速度的分量

对石头（v0sinα）²=2gH
设石头运动到H/2的速度为v
v²-（v0cosα）²=vy²

vy²=2gH/2
解得v²=（v0cosα）²+（v0sinα）²/2
设此时速度v与水平夹角为θ，抛物线曲率半径为r
cosθ=v0cosα/v
重力加速度垂直于速度的分量gcosθ为向心加速度
gcosθ=v²/r
鸟运动只有向心加速度，设为a
a=v0²/r
综合以上各式可以解得
a=gv0³cosα/(（v0cosα）²+（v0sinα）²/2)³/²

追问

您的答案和楼下不一样，但是总体思路一致，求解？

追答

楼上楼下的都是解不出来答案，你没看到它们最后都放弃了吗

追问

。。好，谢谢..鉴于没有用到高等数学知道，满意了..

追答

楼上楼下它们都是属于遇到墙用头开路的主，我是打开一道门，而且用中学基础知识开的门，这是物理竞赛的亮点，微积分可以想，但不会真的用来解拉普拉斯方程

Answer 2

石头的运动轨迹为：
x=v0tcosα ，则：x'=v0cosα，x"=0
y=v0tsinα-gt^2/2，则：y'=v0sinα-gt，y"=-g
则：轨迹的曲率为：k=│x'y"-y'x"│/(x'^2+y'^2)^(3/2)=v0g/(v0^2-2gtv0sinα+(gt)^2))^(3/2)
当高度为：H/2时，t=（√2-1)v0sinα
则此点的曲率：k=v0g/(v0^2-2g(√2-1)v0sinα v0sinα+(g(√2-1)v0sinα )^2))^(3/2)
=g/(1-2(√2-1)gsinα^2++(g(√2-1)v0sinα )^2))^(3/2)
小鸟做匀速运动，则小鸟在H/2处的加速度为：
a=mv0^2/r=mv0^2k
代入K，可求得：加速度a

追问

我的想法也是这样的，但是由H/2求T太繁琐，式子整理不出来怎么办..

Answer 3

首先，石头的加速度为g=9.8m/s 方向向下，所以石头在水平方向上速度不变，V水平=VOcosα
石头到达H/2时竖直方向速度
1/2gt方=1/2H 推出 V竖直=根号下（gH)
此时，石头的速度方向斜率为 tanβ=VOcosα/根号下(gH)
再经过△t的时间 石头的斜率将变为 tanγ=VOcosα/(根号下（gH）+g△t)
由于小鸟沿着石头轨道做匀速率为VO的运动，所以速度的方向在同一点上与石头相同，
当运动到H/2时 V鸟水平=VOcosβ V鸟竖直=VOsinβ
在经过△t的时间 V鸟水平'=VOcosγ V鸟竖直'=VOsinγ
竖直方向的加速度为
VO(cosγ-cosβ)/△t
水平加速度为
VO(sinγ-sinβ)/△t
竖直方向的加速度为
加速度为
√（(VO(cosγ-cosβ)/△t)²+(VO(sinγ-sinβ)/△t)²）
方向为
tanθ=VO(cosγ-cosβ)/VO(sinγ-sinβ)

三角函数我就不算了，忘得7788了。。。

Answer 4

题目给的是有点问题，不然的话那么鸟的加速度就是g了

Answer 5

你这题逻辑不成立，小鸟可以匀速运动或者变加速。除非要求与石头保持相同状态运动。

Answer 6

先考虑包括重力作用的总加速度 要求小鸟延某一曲线运动的加速度 这条曲线知道了吧 合加速度与曲线垂直，所以方向也知道了吧！ 至于和加速度的大小，比较麻烦，可以用加速度的定义，加上微分学以直代曲的思路，可以解决。因为是竞赛题，就讲一下大致思路吧。 加油吧亲！ 注意速度的变化量的求解要注意导数的几何意义以及一点三角公式