Question

请问各位数学系前辈关于压缩映照原理的问题，麻烦好心的各位帮我指点下~

自学北大三的数分，其中有个压缩映照原理。截图如下：
请问各位，f([a，b])是什么意思呢？ 是不是指对所有定义在区间[a，b]上的x所取的函数值呢？ 还有，我没有太理解证明中第一句话的内容；为什么可由条件f([a，b])真包含于[a，b]递推出定义xn=f(x(n-1))呢？

Answer 1

对於f: A->B, f(X)={y∈B: 存在x∈X 使得f(x)=y}, 即集合X在f之下的像.
所以f([a,b])即是指对所有定义在区间[a，b]上的x所取的函数值.

f(x0)∈[a，b], 所以x1=f(x0)在f的定义域里, 我们可以取f(x1)的值, 命其为x2... 如此类推, 我们能合理地定义 xn=f(x_{n-1}).