数学问题
已知圆C:X^2+Y^2-2X+4Y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,求出直线L的方程
答：
由圆的一般方程的定义 ：
当D²+E²-4F＞0时，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
由以AB为直径的圆过原点,得F=0,
故可设以AB为直径的圆的方程为
x²+y²+Dx+Ey=0.......①
设AB两点A(X1,Y1),B(X2,Y2),
则以AB为直径的圆的方程是：
（X-X1)(X-X2)+(Y-Y1)(Y-Y2)=0，
即
x²+y²-（x1+x2)x-(y1+y2)y+(x1x2+y1y2)=0......②
比较①、②得
D=-（x1+x2)
E=-(y1+y2)
x1x2+y1y2=0
以AB为直径的斜率为1，
所以D+2=4-E
又因为圆的直径在l上
所以(D+2)/(-D/2)+(E-4)/(-E/2)=0
另附上
解法二：可设直线L:y=x+t.(t∈R).
与圆的方程联立，得：
2x²+2(t+1)x+t²+4t-4=0.
⊿=4(t+1)²-8(t²+4t-4)＞0.
===>-3-3√2＜t＜3√2-3.
可设点A(a,a+t),B(b,b+t),
由韦达定理得a+b=-（t+1).ab=(t²+4t-4)/2.
又由题设可知，OA⊥OB.
===>(a,a+t)·(b,b+t)=0.
===>ab+(a+t)(b+t)=0.
===>2ab+(a+b)t+t²=0.
===>(t²+4t-4)-t(t+1)+t²=0.
===>t1=1,t2=-4.
∴直线L:y=x+1,或y=x-4.如图.
解法三：假设存在
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故（X1+X2）/2 =-（A+1）/2 （Y1+Y2）=（A-1）/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以（A+1）^2/4+（A-1）^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=-4 A2=1
因此存在这样的直线
Y=X+1 ，或Y=X-4.
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
再检验A是否满足题意，
即L要与圆C相交，
求出A的范围
解法四：
设斜率为1直线L的方程为
y=x+b
代入圆方程得
x^2+(x+b)^2-2x+4(x+b)-4=0
x^2+x^2+2bx+b^2-2x+4x+4b-4=0
2x^2+2(b-1)x+b^2+4b-4=0
x1+x2=-2(b-1)/2=1-b
x1x2=(b^2+4b-4)/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=(1-b)^2-4*(b^2+4b-4)/2
=1-2b+b^2-2b^2-8b+8
=-b^2-10b+9
(y1-y2)^2=(x1+b-x2-b)^2=(x1-x2)^2=-b^2-10b+9
所以|AB|=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=√(-b^2-10b+9+-b^2-10b+9)
=√-2b^2-20b+18=2R
R=√(-2b^2-20b+18)/2
R^2=(-2b^2-20b+18)/4
=(-b^2-10b+9)/2
圆心(x1+x2)/2=(1-b)/2 (y1+y2)/2=(x1+b+x2+b)/2=(1-b+2b)/2=(1+b)/2
所以圆方程是：
(x-(1-b)/2)^2+(y-(1+b)/2)^2=(-b^2-10b+9)/2
因为它经过原点，则当x=0时y=0
则
(0-(1-b)/2)^2+(0-(1+b)/2)^2=(-b^2-10b+9)/2 两边乘4
(1-b)^2+(1+b)^2=2(-b^2-10b+9)
1-2b+b^2+1+2b+b^2=-2b^2-20b+18
2+2b^2=-2b^2-20b+18
4b^2+20b-16=0
b^2+5b-4=0
b=(-5±√41)/2
所以存在这样的直线，方程为
y=x+(√41-5)/2或 y=x-(√41+5)/2
解法五：
已知与曲线x^2+y^2-2x+4y-4=0相交的直线斜率为1
不妨设此直线为y=x+b则
代入曲线方程可得
2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0---------------------------- 1
设A(x1,y1) B(x2,y2)，
又因为以AB为直径的圆过原点
则直线OA与直线OB互相垂直
即可以得到
x1x2+y1y2=0 --------------------------------------- 2
代入直线方程
得2x1x2+b(x1+x2)+b^2=0----------------------------- 3
根据1式可得
x1+x2=-(b+1)
x1x2=(b^2+4b-4)/2
代入(3)式可得
b=-4或b=1
则所求直线为
y=x-4或y=x+1
思维定势一：只要看见以XX为直径圆过一定点。一律使用直径上两线段垂直建立斜率关系。
思维定势二：出现直线与曲线有两交点，并且所研究的问题由两个交点共同决定，并且两交点的地位同等。这样问题必然用韦达定理。
2.求圆的方程的一般步骤：
（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；
（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；
（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.
