Question

初三数学题，求助大神

如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)， B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0,4)， 其中x1,x2是方程x²-2x-8=0的两个根.

(1)求这条抛物线的解析式； (2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交 BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求 点P的坐标； (3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存 在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存 在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若 不存在，请说明理由.

Answer 1

第一问，先求出方程的解就可以得到X1，X2的值用待定系数法就可以求出这条抛物线的解析式
第二问，先求出直线BC,AC的解析式，根据PE∥AC可以设出PE解析式，设P的坐标为（n,0）求出点E的坐标，△CPE的面积=△ABC的面积-△EBP的面积，就可以求出点P的坐标
第三问，要分三种情况讨论，就是每两边相等就有一个，有一个是做BC的垂直平分线解得设BP=a,由x1 x2是方程x的平方—2x—8=0的两个根,且x1>x2得x1=4,x2=-2
△ABC的面积=(4+2)*4/2=12
PE‖AC得△BPE的面积=12*(a/6)^2=(a^2)/3
△APC的面积=(6-a)*4/2=12-2a
所以,△BPE的面积+△APC的面积=(a^2)/3+12-2a
得a=3时,△BPE的面积+△APC的面积最小,即△CPE的面积最大
所以,x2+3=-2+3=1
所以,当△CPE的面积最大时，点P坐标是(1,0)

Answer 2

解：（1）x^2-2x-8=0的两根【因为x1>x2】x1=4, x2=-2
所以A（4,0）B（-2,0）
又经过C（0,4）
不妨设y=ax^2+bx+c 带入ABC
16a+4b+c=0
4a-2b+c=0
0a+0b+c=4
得a=-0.5 b=1 c=4

Answer 3

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