Question

已知点P(1,3)和圆:x^2+y^2=3,过点P的动直线L与圆O相交于不同的两点A,B

已知点P(1,3)和圆O:x�0�5+y�0�5=3，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A、B,在线段AB上取一点Q，满足向量AP=-k*向量PB,向量AQ=k*向量QB(K不等于0、±1)，求证：点Q总在某定直线上。

Answer 1

（II）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x，y），
∵ CP=-λ PD，∴（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3）
∴ 1-x1=-λ(x2-1)3-y1=-λ(y2-3)，即 x1-λx2=1-λ(1)y1-λy2=3(1-λ)(2)
同理 x1+λx2=(1+λ)x(3)y1+λy2=(1+λ)y(4)
（1）×（3），得 x2 1-λ2 x2 2=（1-λ2）x（5）
（2）×（4），得 y2 1-λ2 y2 2=3（1-λ2）y（6）
（5）+（6），得 x2 1+ y2 1-λ2( x2 2+ y2 2)=（1-λ2）（x+3y）
∵C，D在圆O上，∴ x2 1+ y2 1=3， x2 2+ y2 2=3
∴3（1-λ2）=（1-λ2）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．