Question

高中数学，不会勿答 要详细步骤，第三问就可以

Answer 1

(1)y=ax+1/(x+b)
y'=a-1/(x+b)^2
x=2时，y'=a-1/(2+b)^2=0
且f(2)=3,即2a+1/(2+b)=3
解得a=1，b=-1(非整数解舍去）
f(x)=x+1/(x-1)
(2)f(x)=(x-1)+1/(x-1)+1
所以f(x)可以看做由g(x)=x+1/x向左平移一个单位再向上平移一个单位得到
g(x)的对称中心为原点
则f(x)对称中心为(1,1)
(3)坐标平移不影响三角形的面积，因此本题可以化简为
g(x)=x+1/x上一点的切线与y轴和y=x所围成的三角形的面积
切点p(a,b)的新坐标为(a-1,b-1)
下面问题是这个a和b显然不是(1)中的a和b，所以切线方程为
y-(a-1+1/(a-1))=(1-1/(a-1)^2)(x-a+1)
在y轴上的截距为2/(a-1),与y=x的交点横坐标为2(a-1)
所以S=1/2*2/|a-1|*2|a-1|=2

追答

(2)f(x)=(x-1)+1/(x-1)+1
所以f(x)可以看做由g(x)=x+1/x向右平移一个单位再向上平移一个单位得到
g(x)的对称中心为原点
则f(x)对称中心为(1,1)

追问

就第三问还不懂

追答

那就这样做:f(x)=x+1/(x-1),f'(x)=1-1/(x-1)^2

设任一点的坐标是(m,n),则切线方程是y-n=f'(m)*(x-m)
即有y-[m+1/(m-1)]=[1-1/(m-1)^2](x-m)
与x=1的交点的纵坐标是y=m+1/(m-1)+[1-1/(m-1)^2]*(1-m)=m+1/(m-1)+1-m+1/(m-1)=2/(m-1)+1
与y=x的交点的横坐标是x-(m+1/(m-1))=x-m-x/(m-1)^2+m/(m-1)^2
x=m+(m-1)=2m-1
故所围成的三角形的面积S=1/2[2/(m-1)+1-1]*[2m-1-1]=2.