Question

证明1/2+1·3/2·4+1·3·5/2·4·6+...+1·3·5...(2n-1)/2·4·6...2n<√2n+1-1

十万火急！！！！！！！！！！！！

Answer 1

1·3·5·...·(2k-1)/(2·4·6·...·(2k))
= 1/2·3/4·5/6·...·(2k-1)/(2k)
< 2/3·4/5·5/7·...·(2k)/(2k+1)
= (2·4·6·...·(2k))/(3·5·7·...·(2k+1)).
故(1·3·5·...·(2k-1))²/(2·4·6·...·(2k))²
< (1·3·5·...·(2k-1))/(2·4·6·...·(2k))·(2·4·6·...·(2k))/(3·5·7·...·(2k+1))
= (1·3·5·...·(2k-1))/(3·5·7·...·(2k+1))
= 1/(2k+1).
即得1·3·5·...·(2k-1)/(2·4·6·...·(2k)) < 1/√(2k+1).

而1/√(2k+1) = 2/(√(2k+1)+√(2k+1))
< 2/(√(2k+1)+√(2k-1))
= 2(√(2k+1)-√(2k-1))/((2k+1)-(2k-1))
= √(2k+1)-√(2k-1).
于是1·3·5·...·(2k-1)/(2·4·6·...·(2k)) < √(2k+1)-√(2k-1).
对k = 1, 2,..., n求和即得:
1/2+1·3/(2·4)+1·3·5/(2·4·6)+...+1·3·5·...·(2n-1)/(2·4·6·...·(2n))
< (√3-√1)+(√5-√3)+(√7-√5)+...+(√(2n+1)-√(2n-1))
= √(2n+1)-1.

Answer 2

1X3X5X........X(2n-1)=(2n-1)!!
2X4X6X........X(2n)=(2n)!!
根号用英文sqrt表示
这题可以用数学归纳法：
1.1/2<sqrt(3)-1
2.假设1/2+.......+(2k-3)!!/(2k-2)!!<sqrt(2k-1)-1
3.1/2+.......+(2k-3)!!/(2k-2)!!+(2k-1)!!/(2k)!!<sqrt(2k-1)-1+(2k-1)!!/(2k)!!
只要证明(2k-1)!!/(2k)!!<sqrt(2k+1)-sqrt(2k-1)
对于这个不等式可以再用数学归纳法
1,2步骤省略
3.(2k-3)!!/(2k-2)!!X(2k-1)/2k<(sqrt(2k-1)-sqrt(2k-3))X(2k-1)/2k
要证明(sqrt(2k-1)-sqrt(2k-3))X(2k-1)/2k<sqrt(2k+1)-sqrt(2k-1)
剩下的就是化简了，高中知识就可以这么解。