Question

若函数f(x)=x3-3x+m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是什么？

写出详细步骤，谢谢

Answer 1

因为函数f(x)=x3-3x+m有3个不同的零点，极小值小于0，极大值大于0．
由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=﹣1，
所以函数f（x）的两个极值点为 x1=1，x2=﹣1．
由于x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0； x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0； x∈（1，+∞）时，
f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=m﹣2和极大值f（﹣1）=m+2．
所以 m-2<0,m+2>0
﹣2＜m＜2．

Answer 2

设g(x)=x^3,h(x)=3x-a
f(x)=x^3-3x+a有三个不同零点
即g(x)与h(x)有三个交点
g'(x)=3x^2
h'(x)=3
当g(x)与h(x)相切时
g'(x)=h'(x),3x^2=3,得x=1,或x=-1
当x=1时,g(x)=1,h(x)=3-a=1,得a=2
当x=-1时,g(x)=-1,h(x)=-3-a=-1,得a=-2
要使得g(x)与h(x)有三个交点,则-2<a<2

Answer 3

首先看y=x3-3x，画出它的图像，m表示对图像做了一个平移，平移后有三个零点，即与x轴有三个交点……