Question

八年级几何数学题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上且DE⊥DF.
求证：EF²=AE²+BF²

Answer 1

证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．

∵AM∥BC，

∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．

∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，

∴△ADM≌△BDF．

∴AM=BF，MD=DF．

又∵DE⊥DF，∴EF=EM．

∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²．

Answer 2

延长FD至G，使DG=FD，连接EG和AG
因为GD=DF AD=BD ∠ADG=∠BDF 则 三角形ADG全等于BDF
所以AG=BF 且∠DAG=∠DBF
所以AG//BF即AG//BC
所以∠GAE=∠C=90°
因为DE⊥DF FD=DG 所以EG=EF
又因为 AG=BF ∠GAE=∠C=90° 所以
EG²=AE²+AG² 即EF²=AE²+BF²

Answer 3

证明：延长FD，取点G，使DG＝FD，连接EG
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵DG＝FD，∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF
∴AG＝BF，∠DAG＝∠B
∵∠C＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠DAG＝90
∴∠EAG＝90
∴EG²＝AE²+AG²
∴EG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF，DF＝DG
∴ED垂直平分GF
∴EF＝EG
∴EF²=AE²+BF²