Question

基本不等式求最值问题

已知函数f(x)=Inx+a/x(a∈R)
当a≥1时，比较f(x)与f(1/x)的大小
若f(x)在【1，e】上的最小值是3/2，求a的值
若不等式f(x)<x²在（1，+无穷）上恒成立，求a的取值范围
求详解！！！！！
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

解：令F（x）=f(x)-f(1/x)=lnx+a/x-(ln(1/x)+ax)=1nx^2+a(1/x-x)(x>0)
F'(x)=2/x+a(-(1/x)^2-1/x)=1/x-a/x^2=（x-a）/x^2
当x>a,F'(x)>0,F（x）上升；当x<a,F'(x)<0,F（x）下降.
又，令F（x）=0，得出，x=a=1.所以，当且仅当x=a=1时，函数F(x)才能等于0
也就是说在（0，a）上，F(x)下降，在（a,+00）上，F(x)上升。所以F(x)>=0,当且仅当x=a=1等号成立。所以，f(x)>f(1/x)
当X在【1，e】，f'(x)=(x-a)/X^2,当x>a,f'(x)>0,f（x）上升,x=1时，有最小值，a=3/2；当x<a,f'(x)<0,f（x）下降,x=e,有最小值，1+a/e=3/2,a=1/2e

若不等式f(x)<x²在（1，+无穷）上恒成立,考虑传统方法就是f(x)-x^2<0在（1，+无穷）上恒成立
G(x)=f(x)-x^2=Inx+a/x-x²,当x=1时，G(x)=a,G'(x)=(-2x²+x-a)/x²，
哎，这题可真够难得，因为接下来要讨论G'(x)的取值范围了。
这里就换个解题方法了。f(x)=Inx+a/x，f'(x)=(x-a)/x^2,当x>a,f'(x)>0,f（x）上升,当x<a,f'(x)<0,f（x）下降
而g(x)=x²在x>1时是上升的。因为不等式f(x)<x²在（1，+无穷）上恒成立，所以，在（1，+无穷）上，f(x)<g(x),且f'(x)<g'(x),则X=1时，f(x)<=g(x),a<=1,a<=1时，满足f'(x)<g'(x)。所以a<=1.
这道题的答案我不是很肯定。请您斟酌。
这道题要么缺少条件，要么就是我没学到家。

Answer 2

一般这类题目通过画图解决最为方便，第一个最小值是负无穷，第二题是4分之9，第三题应该是负无穷，最后一题么应该是3分之4根号3吧。