Question

一小球从高h处自由下落，在碰到地面后又竖直跳起，跳起的初速度等于每次落下的末速度大小的3/4，空气阻力

一小球从高h处自由下落，在碰到地面后又竖直跳起，跳起的初速度等于每次落下的末速度大小的3/4，空气阻力不计，则小球从开始释放至停止弹跳所经过的总时间为 ，所走过的总路程为 。
求具体过程和答案。3Q

Answer 1

第一次下落时
小球获得速度V0=√2gh，耗时t0=√2h/g，走过路程X0=h
反弹一次时
小球速度V1=(3/4)√2gh，之后到第三次碰撞前，耗时t1=2×(3/4)√2h/g，走过路程X1=2×（3/4)²h
反弹2次时
小球速度V2=(3/4)²√2gh，之后到第四次碰撞前，耗时t2=2×(3/4)²√2h/g，走过路程X2=2×(3/4)^4×h

…………

反弹第N次时
小球速度Vn=(3/4)²√2gh，之后第N+1次碰撞前，耗时tn=2×(3/4)^n√2h/g，走过路程Xn=2×(3/4)^(2n)×h

当N→∞的时候，有小球停止运动
总时间T=t0+t1+t2+t3+……+tn
总路程X=X0+X1+X2+X3+……+Xn
最后n→∞已取，所以(3/4)^n和(9/16)^n都等于0代入运算
T=√2h/g+2√2h/g×(3/4+(3/4)²+……+(3/4)^n)
=√2h/g+2√2h/g×(3/4)×(1-(3/4)^n)/(1-(3/4))
=√2h/g+2√2h/g×3
=7√2h/g

X=h+2h×((3/4)²+(3/4)^4+……+(3/4)^(2n))
=h+2h×(9/16×(1-(9/16)^n)/(1-9/16))
=h+2h×9/7
=25h/7

Answer 2