Question

有第一类间断点的函数一定不存在原函数

为什么有第一类间断点的函数一定不存在原函数,但有第二类间断点的函数可能有原函数。
可能是指第二类中的震荡还是无穷。。求高手赐教

Answer 1

这个问题反过来说比较顺, 即: 若f(x)在(a,b)上可导, 则f'(x)没有第一类间断点.
原因是若lim{x → c-} f'(x)存在, 由L'Hospital法则可知其等于f(x)在c的左导数.
而若lim{x → c+} f'(x)存在, 其等于f(x)在c的右导数.
又由f(x)在c处可导, 可得f'(c-) = f'(c) = f'(c+), 即f'(x)在c连续.
因此f'(x)没有第一类间断点.

类似的分析可以说明, f'(x)没有无穷型间断点.
因为由x → c-时f'(x) → +∞, 可得f(x)在c的左导数不存在, 对-∞同样.
另外由Darboux定理, 若x → c-时f'(x) → ∞, 则有f'(x) → +∞或f'(x) → -∞, 不会两边振荡.

另一方面, f'(x)可以有第二类间断点.
经典的例子是f(x) = x²sin(1/x), 补充定义f(0) = 0.
在x ≠ 0处, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x), x → 0时在[-1,1]振荡.
此外, f'(x)还可以无界, 例如: f(x) = x^(4/3)·sin(1/x), 补充定义f(0) = 0.
在x ≠ 0处, f'(x) = (4/3)·x^(1/3)·sin(1/x)-x^(-2/3)·cos(1/x), x → 0时在(-∞,+∞)振荡.
注: 在(-∞,+∞)振荡还会取得中间值, 因此并非f'(x) → ∞的无穷型间断点.