Question

已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).若f(x)为奇函数,且当0小于等于x小于等于1时，f(x)=1/2x

（1）求f（x）在[-1,3]上的解析式 （2）求使f(x)=-1/2在[0,2013]上的所有x的个数

Answer 1

解：f（x+4）=-f（x+2）=f（x）得周期T=4
1）
x在[0,1]时，f(x)=1/2x，令t=-x得：t在[-1,0]，f(-t)=1/-2t，
由f(x)为奇函数，得f(x)=-f(-x)，
所以f(t)=-f(-t)=1/2t
所以x在[-1,1]时，f(x)=1/2x，
由f(x+2)=-f(x).当t=x+2，x在[-1,1]时，t在[2,3]，x=t-2，代入得，f(t)=-f(t-2)=1/2（t-2）=1/(2t-4)所以：X在[2,3]时，f(x)=1/（2x-4）
2）
由上可知：f（-1）=-1/2,f（-3）=-1/2,而函数周期为4，两知正好再端点，因此每个周期只有一个值为-1/2,设为初始端点，从x=3，开始算，（2013-3）/4=502余2，由于从初始端算，只要大于0就出现一个-1/2,所以总共出现-1/2的次数为502+1=503次。