Question

高中数学导数题

已知函数f(x)=(1-x)/ax +lnx，当a=1时，求证对大于1的任意正整数n,都有lnn>1/2 +1/3 +...+1/n

Answer 1

明显的f(x)=(1-x)/(ax)+lnx 【输入还是应该规范一些】
a=1时，
f(x)=(1-x)/x +lnx=1/x-1+lnx

f'(x)=-1/x²+1/x=(x-1)/x²
当x≥1时，f'(x)≥0,f(x)是增函数
即f(x)在(1,+∞)上为增函数

当n≥2时，
∵n/(n-1)=[1+(n-1)]/(n-1)=1+1/(n-1)>1
所以，f[n/(n-1)]>f(1)=0
ln[n/(n-1)]+1/[n/(n-1)]-1>0
ln[n/(n-1)]+(n-1)/n-1>0
∴ lnn-ln(n-1)>1/n

则：
ln2-ln1>1/2
ln3-ln2>1/3
.......................

lnn-ln(n-1)>1/n
叠加得：lnn-ln1>1/2+1/3+1/4+.....+1/n
即：lnn>1/2+1/3+1/4+........+1/n

Answer 2

证明：
a=1时，f(x)=lnx+(1-x)/x=lnx+1/x-1
f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
所以：当x>1时，f'(x)>0，f(x)在[1，+∞)上是递增的。
因为：f(1)=0，n/(n-1)>1
所以：f[n/(n-1)]>f(1)=0
所以： ln[n/(n-1)]+1/[n/(n-1)]-1>0
所以：ln[n/(n-1)]+(n-1)/n-1>0
因此有：lnn-ln(n-1)>1/n
所以：
lnn-ln(n-1)>1/n
ln(n-1)-ln(n-2)>1/(n-1)
ln(n-2)-ln(n-3)>1/(n-2)
..................................
ln3-ln2>1/3
ln2-ln1>1/2
以上各式相加得：
lnn-ln1>1/2+1/3+1/4+...+1/n
所以：
lnn>1/2+1/3+1/4+...+1/n

Answer 3

对f（x）求导可知道 当x>1时 f（x）>0恒成立 也就是说 lnx>1-1/x 在x>1 时候恒成立
那么 就会有 ln2>1-1/2（也就是1/2），ln（3/2）>1-2/3（也就是1/3），.......以此类推 ln（1+1/n）>1/n
这n-1个不等式左右两边各自相加 就得到了你所要求证的结果了
如果讲得不详细 或者造成你的不理解 欢迎追问~\(≧▽≦)/~

Answer 4

这个式子写的很不严密，有很多种解释
一，y=(1-x)/(ax+lnx.a)=1
二，y=(1-x)/ax+lnx.a=1
三，y=1-x/(ax+lnx.a)=1
四，y=1-x/(ax+lnx).a=1••••••
还有，lnx.a之间的点是乘号吧。
希望可以给你提供些帮助