Question

设函数f(x)=a^x/(1+a^x)(a>0,a≠1),),[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数g(x)=[f(x)-1/2]+[f(x)+1/2]

设函数f(x)=a^x/(1+a^x)(a>0,a≠1),),[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数g(x)=[f(x)-1/2]+[f(x)+1/2]
的值域？

Answer 1

f(x)=a^x/(1+a^x)
=[(a^x+1)-1]/(a^x+1)
=1-1/(a^x+1)
若a>1,
当x≥0时，a^x≥1, a^x+1≥2
那么0<1/(a^x+1)≤1/2
∴1/2≤1-1/(a^x+1)<1
即1/2≤f(x)<1
∴0≤f(x)-1/2<1/2,1≤f(x)+1/2<3/2
∴[f(x)-1/2]=0,[f(x)+1/2]=1
∴g(x)=[f(x)-1/2]+[f(x)+1/2]=1

当x<0时，0<a^x<1 ,1<a^x+1<2
∴1/2<1/(2^x+1)<1
∴0<1-1/(2^x+1)<1/2
∴0<f(x)<1/2
∴-1/2<f(x)-1/2<0,1/2<f(x)+1/2<1
那么[f(x)-1/2]=-1,[f(x)+1/2]=0
∴g(x)=[f(x)-1/2]+[f(x)+1/2]=-1+0=-1

若0<a<1同理可得g(x)=-1或g(x)=1

g(x)取到的函数值只有2个-1,和1
∴g(x)值域为{-1,1}

追问

但在«数学总复习导引》的参考答案是{-1,0}诶，难道答案错了吗？

追答

我的答案没有问题

Answer 2

f(x)在定义域内，有0<f(x)<1，所以-1/2<f(x)-1/2<1/2 =>-1<=[f(x)-1/2]<=0
1/2<f(x)+1/2<3/2 =>0<=[f(x)+1/2]<=1
所以-1<=g(x)<=1

追问

参考答案为{-1,0}不知哪里有问题。