Question

高中数学 函数 求最值问题

已知函数f（x）=x²+2x+a/x，x属于[1，正无穷）。
当a=1/2时，求函数f（x）的最小值。

Answer 1

答：
a=1/2，f(x)=x^2+2x+a/x=x^2+2x+1/(2x)，x>=1
求导：f'(x)=2x+2-1/(2x^2)>0
所以：f(x)在定义域内是增函数

所以：x=1时，f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2

a=1/2，f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+2+1/(2x)>=2+2√(1/2)=2+√2
当且仅当x=1/(2x)即x=√2/2时取得最小值
所以：x>√2/2时f(x)是增函数
所以：x=1时，f(x)取得最小值为f(1)=1+2+1/2=7/2

追问

，f(x)=x²+2x+1/2x，这个函数可以看做是由g(x)=x²与h(x)=2x+1/2x所构成的，而这两个函数在[1，正无穷）均为增函数，所以其和函数即f(x)也是增函数，所以其最小值就是f(1)=7/2。

这个也是书上给的答案 可以解释下吗 为什么h(x)=2x+1/2x在[1，正无穷）为增函数？2x是增，但1/2x是减函数啊 增+减=？。。

追答

嗯，h(x)是对勾函数，其值大于等于2，故大于1/

嗯，h(x)是对勾函数，其值大于等于2，故大于1/

嗯，h(x)是对勾函数，其值大于等于2，故大于1/

嗯，h(x)是对勾函数，其值大于等于2，故大于1/2是增函数

追问

化简后的式子单调性是需要证明的是吧？而不是看一眼就知道对吧？导数法或者是基本不等式法对吧？

追答

一般来说，有些函数是可以直接说出其增减性的。导数或定义法都可以

Answer 2

你好，f(x)=x²+2x+1/2x，这个函数可以看做是由g(x)=x²与h(x)=2x+1/2x所构成的，而这两个函数在[1，正无穷）均为增函数，所以其和函数即f(x)也是增函数，所以其最小值就是f(1)=7/2。

追问

当是为什么h(x)=2x+1/2x在[1，正无穷）为增函数？2x是增，但1/2x是减函数啊 增+减=？。。。

追答

对于函数f(x)=ax+b/x（a>0，b>0），当x>0时，f(x)在(0，根号(b/a)]递减，在[根号(b/a)，正无穷）递增，如果你们还没有学过，先把这个结论记住，以后老师会细讲的。

Answer 3

方法一求导
方法二配方求最值

Answer 4