Question

已知函数f（x）=2mx-m^2+1/(x^2+1）

求当m>0时，函数f（x）的单调区间与极值

Answer 1

f(x)=(x^2+1)/(2mx-m^2+1)，(x€r)
f(x)导函数f'(x)=[(x^2+1)'(2mx-m^2+1)-(x^2+1)(2mx-m^2+1)']/(2mx-m^2+1)^2
=[2x×(2mx-m^2+1)-(x^2+1)×2m]/(2mx-m^2+1)^2
=[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2
令f'(x)=0，则[2mx^2-(2m^2-2)x-2m]/(2mx-m^2+1)^2=0，mx^2-(m^2-1)x-m=0
b^2-4ac=[-(m^2-1)]^2-4m×(-m)
=m^4-2m^2+1+4m^2
=(m+1)^2
∴x={-[-(m^2-1)]±√(m+1)^2}/2m
∵m>0
∴x=(m+1)/2 或x=(m^2-m-2)/2m
又∵(m+1)/2-(m^2-m-2)/2m=(m+1)/m＞0
∴(m+1)/2＞(m^2-m-2)/2m
当f'(x)＞0时，x＜(m^2-m-2)/2m，x＞(m+1)/2
当f'(x)＜0时，(m^2-m-2)/2m＜源蠢x＜(m+1)/2
∴当x€(-∞，(m^2-m-2)/2m)时，f(x)单调递增
当x€((m^2-m-2)/2m，(m+1)/2)，庆裂悄f(x)单调递减
当x€((m+1)/2，+∞)时，f(x)单调递增
∴f(x) 单调递增区间为[-∞，(m^2-m-2)/誉渣2m]或[(m+1)/2，+∞)]
f(x)单调递减区间为[^2-m-2)/2m，(m+1)/2]
当x=(m^2-m-2)/2m有极大值f((m^2-m-2)/2m)= -(m^4-2m^3+4m+4)/(4m^3+4m^2)
当x=(m+1)/2有极小值f((m+1)/2))=(m^2+2m+5)/(m+1)