Question

高中数学 定积分

区间是[pi/6,pi/2] ∫cos^2xdx=1/2∫(1+cos2xdx)=1/2(x+∫cos2xdx)=1/2(x+1/2∫dsin2x) 1/2(x+∫cos2xdx)=1/2(x+1/2∫dsin2x)这步是怎么出来的？
区间是[pi/6,pi/2]
∫cos^2xdx=1/2∫(1+cos2xdx)=1/2(x+∫cos2xdx)=1/2(x+1/2∫dsin2x)

1/2(x+∫cos2xdx)=1/2(x+1/2∫dsin2x)这步是怎么出来的？

Answer 1

这就是我们中国人擅长的“凑微分”方法，本质仍然是变量代换法。
这种方法起源于俄罗斯，也就是前苏联，盛行于国内半个多世纪，
这种方法在英美并没有被接受，如果参加国际考试，要尽量避免。

下面举例解说：

例一：
y = sinx，两边微分得到：dsinx = cosxdx。我们反过来写就是 cosxdx = dsinx
∴∫ cosxdx = ∫ dsinx = sinx + c

例二：
y = cosx，两边微分得到：dcosx = -sinxdx。我们反过来写就是 sinxdx = -dcosx
∴∫ sinxdx = - ∫ dcosx + c = -cosx + c

例三：
y = sin2x，两边微分得到：dsin2x = 2cos2xdx。我们反过来写就是 cos2xdx = ½dsin2x
∴∫ cos2xdx = ½ ∫ dsin2x + c = ½ sin2x + c

例四：
y = e^(3x)，两边微分得到：de^(3x) = 3e^(3x)dx。
我们反过来写就是 e^(3x)dx = (¹/₃) de^(3x)
∴∫ e^(3x)dx = (¹/₃) ∫ de^(3x) + c = (¹/₃) e^(3x) + c

欢迎追问。

Answer 2

Answer 3

d(sinx)=conxdx
这是微分公式，数学手册上面都有
d(sin2x)=2con2xdx