Question

已知函数f（x）=2^x

试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；

Answer 1

解：
F(x)=f(x)+af(2x)
=2^x+a*2^2x
=a(2^x+1/2a)²-1/4a
∵x∈（-∞,0]
∴f(x)=2^x的值域为（0,1]
①当1/2a＜0，即：a＜0时，
因为0这里取不到，无最大值.
②当0＜1/2a≤1，即：0＜a≤2时，
2^x=1/2a取得最大值为：-1/4a，
③当1/2a＞1，即：a＞2时
2^x=1即x=0取得最大值为：1+a.
∴函数F(x)=f(x)+af(2x)的最大值：
①当a＜0时，无最大值；②当0＜a≤2时，-1/4a； ③当a＞2时，1+a.

Answer 2

令2^x=t,F(x)=t+a*t^2,t<=1，，讨论a的值就能算了

追问

怎么讨论，求教

追答

a=0,F=t,最大是1；a>0最大不存在；0>a>=-1/2的时候，最大是a+1，a<-1/2的时候，最大是-1/4a