Question

问一道数学证明题

用向量法证明:三角形的三条中线交与一点
证明：作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a).
再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD，
则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2

请问：‘向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) ’怎么得到的啊？而且OP=1/3(a+b+c)有什么用？为什么有了这个就可以说明中线交与一点？有什么相关定理吗？谢谢别笑我笨。。。。

Answer 1

人家设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD
所以就得到向量OP=1/3向量OA+2/3向量OD啦，你画个图一眼就看出来了
之后带入前面的式子
向量OP=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
后面还要证P也是BE，CF的三等分点，同理可证
因此三条中线交于点P
不是都说明了【三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2】麽

追问

OP=1/3(a+b+c)能说明什么呀？前面都设了P为AD的三等分点啊，那这个式子想干嘛？谢谢