Question

高等数学中无穷级数收敛判别法的问题

下面一个图片一个问题，问题有点多，麻烦各位老师了谢谢

我笔记的两种情况，两个级数有固定关系吗？就像书上的那种发散，则发散

（3）定理怎么证明？？我怎么看这个定理和教科书上写的不一致啊？是我没看懂，还是（3）定理有问题？

图中画线的两个结论是怎么得到的？第一个画线的数列指的是a1-a0 , a2-a1 , ..........,an-(an-1)这个数列吗？后一个画线的结论，是由收敛数列的奇数项组成的数列收敛，这么一个定理得到的吗？

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Answer 1

大学的书真难学啊，哎，我都看感觉记下那些烂定理的，觉得是就是，不是就不是，不然这么强的理论性定理使得我要崩溃了。

1. 肯定啦，就像整体提公因式啦，你举个例子来嘛，观察下，然后你再从例子中得出结论来嘛。很容易发现就是如此。
   

2. （3）是正确的，首先呢，两个数列比是趋向正无穷的，记做A/B，教科书上的比较好理解，B的总和发散→B发散→A当然也要发散了→A的总和也发散。至于资料书上的嘛，A收敛→数列A极限为0→B极限为0，A的总和肯定收敛于一个数d，这B自然也收敛啦，收敛至比d还小的数。

3. 哎呀，第一条横线我无语啦，他都说那个收敛啦，哪用什么证明啊，进一步阐述条件而已啦。第一条横线理解，第二条就更简单啦，一个数列收敛，每项减去一个常数a。你说这个数列还是不是收敛数列？

虽然我上述讲得理论性不强，就是没有中规中矩的证明，但没关系，这样最大的好处就是方便记忆以及结题。啊，数学是严谨的，最终证明还是要理论的呢。哎，这一年大一读书不认真，理论不够扎实，只好大二开始在努力下咯，所以呢，给你的只是靠感觉来“解释”了这些定理，希望可以帮助到些你什么。总的来说，多思考，不要荒废掉自己的时间，加油吧。好累啊，手机党，望采纳。

Answer 2

第一个：貌似书上印的这个是个推论吧。。。记不太清
总之这个定理是说大的收敛则小的级数也收敛，小的发散则大的也发散。反之不成立。你就这样记。
第二个：你可以去看看高数上册对无穷小的定义，老师的课堂笔记也翻一翻吧
第三个：收敛级数中部分项构成的新级数也是收敛的，就是相同的敛散性质，这个貌似是书上的定理吧，你翻翻课本前面几节

Answer 3

追问

4，为什么lim(n->无穷) Sn =lim(n->无穷) an - a0？？还有，Sn不是一个级数部分和吗？怎么就变成数列了？得到{an}收敛不是因为收敛数列的奇数项组成的数列收敛吗？

追答

Sn是一个部分和，同时也是一个数列，
为什么要提到奇数项？

追问

因为{an}是{an-a(n-1)}的奇数项，如果{an-a(n-1)}收敛，它的奇数项{an}是不是就收敛了？

追答

{an}怎么是{an-a(n-1)}的奇数项了？这个你理解有问题
{an-a0}就是数列{an-a(n-1)}的部分和序列
因为级数收敛
所以{an-a0}收敛
所以{an}收敛

追问

哦，明白了。
那为什么lim(n->无穷) Sn =lim(n->无穷) an - a0，然后可以得到Sn 和 an同敛散呢？

追答

a0是常数，an极限存在，Sn的极限就存在，反之一样-