Question

请教几道高等数学中极限与导数的题目

几道简单的小题，对于各位高手小菜一碟，麻烦看一下啦

画线的句子没看懂，具体问题我写在图片里了，点开可以看一下我做的笔记

为什么知道画线的式子极限不存在呢？？

看我写在答案的笔记，我的笔记过程有错吗？？

为什么不选C？我写在答案的过程不就推出f''(x)等于0了，我推算的过程有错误吗？





Answer 1

1. 没有极限，所以不是无穷大量，这和 f（n）=n， n是奇数； f（n）=0  n是偶数这个数列一样，极限不存在。

2. 因为 lim x趋于0， cos（1/x）极限不存在。 lim x趋于0， cos（1/x）就是 cos无穷大，在那边是摇摆的。

3. 笔记没错，你只证明了原函数的左导等于右导，而导函数在 0处的极限不存在。 其他三个导函数在0 处都至少有一侧极限。

4. f''(x)的确等于0，但是又不是说f''(x) =0 就能说明这是拐点，拐点是在f''(x) =0 的左右邻域一正一反。

追问

3，原函数在0处的左导等于右导，不就可以推出原函数在0处可导，然后推出lim(x->0) f'(x)存在吗？

追答

原函数在0处的左导等于右导，可以推出原函数在0处可导，然后推出lim(x->0) f'(x)的确是存在的。但是看了这个值之后，再一看f ‘ (x)在0处的邻域上的值就能发现，f ‘ (x)在0 处不连续。题目问的是 f ‘ (x)在0 处连不连续。

追问

推出lim(x->0) f'(x)的确是存在的。但是答案说不存在啊。

f ‘ (x)在0 处不连续，是因为即使lim(x->0+) f'(x) = lim(x->0-) f'(x) ，未必可以得到lim(x->0+) f'(x) = lim(x->0-) f'(x) = lim(x->0) f'(x) 吗？

追答

lim(x->0) f'(x) 是不存在的， x=0 f'(x)是存在的，而f ‘ （0） 这个值是lim(x->0) x四分之三次方sin 什么什么的那个算式。
你从来没有推算过 lim(x->0) f'(x)存在，是因为你还没写过 f'(x) x不等于0时的函数表达式。
要推的话得用 lim x趋于0 x的三分之一次方的式子

f ‘ (x)在0 处不连续 是因为f ‘ (x) 这个函数表达式 在0处是摇摆的，和问题1问题2一样（我记得是这样，几天前看的，现在困了）

追问

你从来没有推算过 lim(x->0) f'(x)存在
0的左右导数不就说明f(x)可导吗？然后推出lim(x->0) f'(x)存在

还有，第4个问题那里我写的笔记分析1的演算过程，有不合理的地方吗？我极限运算法则什么的有错

追答

f(x)在0处可导，但是这和lim(x->0) f'(x)是两回事啊
f(x)在0处可导，只说明 f'(0)存在，你还要证明 f'(0+)=f'(0-)=0 才能说lim(x->0) f'(x)存在啊，这事你干了？
第四题演算没错，拐点定义你没搞清楚。要求f ’ ‘（ x）=0且 f ’ ‘（ x+）和f ’ ‘（ x-）符号相反，而后面的这个条件不成立。

Answer 2

1. 画一下图象就容易理解了。y=(1/x)sin(1/x)的图象是以y=±(1/x)为包络线的不断抖动的曲线，且越接近于0，抖动得越厉害。

2. 你的理解正确。

3. 你的笔记仅指出了f'(0)=0,f'(x)在x=0处连续，需lim(x→0)f'(x)=f'(0),而对于本题，由于lim(x→0)f'(x)不存在，所以f'(0)可以不求。

4. f''(0)=0,并不能得出f''(x)=0