Question

高等数学 二重积分 一道题目

求过程，thx

Answer 1

你随便找个函数就能猜的出是A方除以2吧……

你画个1*1的方格，右边的式子定义域是对角线以上的，f（x）*f（y）是关于 y=x对称的，所以肯定是A方除以2了。
证明就是

积分号 0到1 dx 积分号 0到x f(x)f(y)dy + 原式= A方

再证 积分号 0到1 dx 积分号 0到x f(x)f(y)dy =原式，用富比尼原理

Answer 2

Answer 3

记原积分值为B，交换x与y，则B=∫(0到1) dy ∫(y到1) f(x)f(y)dx=∫(0到1) dx ∫(0到x) f(x)f(y)dy，与原积分相加，则
2B＝∫(0到1)dx ∫(x到1) f(x)f(y)dy ＋ ∫(0到1) dx ∫(0到x) f(x)f(y)dy=∫(0到1) f(x)dx ∫(0到1) f(y)dy=[∫(0到1) f(x)dx]^2=A^2。
所以，原积分值是1/2×A^2。

Answer 4

追问

为什么F(0)=0 , F(1)=A?看不懂，上面其他人的回答才是正确的，不过还是谢谢