Question

求通过直线2X-Y+3=0与圆X^2+Y^2+2X-4Y+1=0的交点？且面积最小的圆的方程。

Answer 1

由于直线2x+y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0有2个交点，
所以过直线2x+y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的交点的圆的方程为：x^2+y^2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0
其半径的平方=5/4λ^2-4λ+4,
当λ=8/5，取最小值4/5，
所以面积最小的圆的方程：x^2+y^2+2x-4y+1+8/5（2x+y+4）=0==》x^2+y^2+26/5x-12/5y+37/5=0

Answer 2

只需找出圆心关于直线对称的点，圆的半径不变。

圆的标准方程为(x-1)^2 + y^2=2,圆心为(1,0),半径为根号2.

设圆心对应的点为（x,y).它与圆心的连线应该与直线垂直，即y/(x-1) *2=-1①
又因为两点所连的直线的中点在直线2x-y+3=0上，所以：
2 * (x+1)/2 - y/2 + 3=0 ②
解得:x=-3,y=2
所以对称的圆的圆心为(-3,2),半径为根号2
圆的方程为(x+3)^2 + (y-2)^2=2