Question

如图,函数f(x)=x+√2/x的定义域为(0,+∞)设P是函数图像上的任意一点

过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别是M,N
（1）证明：PM·PN为定值
（2）O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值

Answer 1

设p（x，x+√2/x），过p做x轴垂线交y=x于G
（1）PN=x，三角形PGM中，PM=√2/2PG=√2/2（x+√2/x-x）=1/x
（2）三角形PNO面积x（x+√2/x）/2
三角形POM面积√2×（x+√2/2PM）×PM/2
这样可能简单一点

Answer 2

可以设P点为（x0,y0）则PN=x0,有函数知y0=x0+√2/x0,利用点到直线公式求得P到y=x的距离PM=1/x0.证得第一问。第二问ON=y0,PN已知，可以利用点斜式求得PM函数式，然后得M坐标。得到PM，OM长。可以分OPN和OPM两个三角形求得四边形面积表达式，最小值好像是3√2/2.