Question

连续性随机变量的分布函数一定连续，但可以存在不可导点吗？

Answer 1

分布函数一定连续
但不一定可导
特别是在密度函数不连续的点，在我们现行的概率统编教材中，肯定是不可导的，比如[a,b]上的均匀分布的分布函数就有两个不可导点x=a和x=b

至于测度论、实变函数一类的，楼主可以忽略了

Answer 2

连续型的随机变量的密度函数设为f(x)，分布函数设为F(x)
对于每一个x有这样的关系f(x)=F'(x)
这也说明了分布函数F在每一点的导数都存在

追答

有问题可以再问我，满意请采纳，谢谢~

追问

错的，f（x）在x不连续就没你写的那个等式

追答

当然有，因为由密度函数定义f(x)一定是左连续的，F(x)是f(x)的积分表示，所以导数一定存在并且等于f(x)在x点的左极限
自己先好好看看书上的基本概念吧

另外学习概率论之前，建议你去学习一下实分析中测度论和勒贝格积分的相关内容，对概率论中一些理论知识的理解很有帮助，如果没有学习过实分析中的相关内容学起来肯定比较吃力

追问

这个有错吗

Fx在1点处就不可导，哪还有你那个等式

追答

是我记错了，F(x)是左连续的，不是f(x)
所以F(x)就不一定可导了

如果不是连续型的分布那么F(x)可能是不连续的
比如P(01/2
F(x)在1这个点就不连续了，肯定也不可导

追问

你给的不是连续型分布吗

追答

P(x=1)=1/2
有这个怎么是连续型？

追问

连续型随机变量的定义是什么？？

不一定要fx连续

追答

若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）
连续型随机变量的密度函数f(x)当然不一定连续，但是分布函数F(x)一定是左连续的
这个分布的分布函数F(x)=x/2, x=1
所以分布函数F在x=1这点左不连续，自然不是连续型
其实连续型随机变量蕴含着P(X=x0)=0对任意x0成立，否则在x0点F(x)必然不左连续