Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若三角形ABC的面积为S,且2S=(a b)2-c2,求tanC的值

Answer 1

因S=1/2*absinC,所以2S=absinC.
所以，absinC=(a+b)^2-c^2=a^2+b^2-c^2+2ab.
所以，sinC= (a^2+b^2-c^2)/ab+(2ab)/ab=( a^2+b^2-c^2)/ab+2.
由余弦定理知，cosC=( a^2+b^2-c^2)/2ab,所以，2cosC=( a^2+b^2-c^2)/ab.
所以，sinC=2cosC+2,两边都除以cosC得：tanC=2+2sec=2+2√（1+tan^2C）,
即tanC=2+2√（1+tan^2C）,
tanC-2=2√（1+tan^2C）,两边平方并化简得：tanC(3tanC+2)=0.
因tanC≠0,所以有3tanC+2=0,tanc=-2/3.

Answer 2

解：应该是“2S=（a+b）�0�5-c�0�5 吧”根据题意
△ABC=1/2×absinC=S；
2S=（a+b）�0�5-c�0�5；
absinC=a�0�5+b�0�5+2ab-c�0�5（1）；
余弦定理
cosC=（a�0�5+b�0�5-c�0�5）/2ab；
2abcosC=a�0�5+b�0�5-c�0�5（2）；
（1）-（2）
absinC-2abcosC=2ab
sinC-2cosC=2；
sinC/（1+cosC）=2；
tan（C/2）=2；
tanC=2tan（C/2）/（1-tan�0�5C/2）
=2×2/（1-4）=-4/3