Question

证明f(x)=﹛x²－2x＋3 （x＞0），0 （x=0），﹣x²－2x－3 ﹙x＜0﹚﹜，是奇函数

Answer 1

证明分段函数为奇函数要分段来证的
证明：
当x>0时，-x<0
f(-x)=-(-x)²-2(-x)-3=-x²+2x-3
f(x)=x²－2x＋3
f(-x)=-f(x)

x=0时，f(-0)=-f(0)

当x<0时，-x>0
f(-x)=(-x)²-2(-x)+3=x²+2x+3
f(x)=-x²-2x-3
f(-x)=-f(x)

综上总有f(-x)=-f(x)成立
f(x)是奇函数

Answer 2

证明:因为当x>0时,f(x)=x^2-2x＋3,所以-x<0,所以f(-x)=x^2＋2x＋3,又因为当x<0时,f(x)=-x^2-2x-3,且当x>0时f(-x)=x^2＋2x＋3,所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数。