Question

数学大神帮帮忙

圆M方程为(x-2)^2+y^2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA,PB切点为A,B.求向量PA·PB最小值　

Answer 1

设∠APB＝2u，则：∠APM＝∠BPM＝u。
显然有：cotu＝PA/AM＝PA＝PB，PA^2＝PM^2－1。
∴向量PA·向量PB
＝｜向量PA｜｜向量PB｜cos2u
＝PA^2［（cosu）^2－（sinu）^2］/［（cosu）^2＋（sinu）^2］
＝PA^2［（cotu）^2－1］/［（cotu）^2＋1］
＝PA^2（PA^2－1）/（PA^2＋1）
＝（PM^2－1）（PM^2－2）/PM^2
＝（PM^4－3PM^2＋2）/PM^2
＝PM^2＋2/PM^2－3。

令f（x）＝向量PA·向量PB、PM^2＝x，则：f（x）＝x＋2/x－3。
很明显，M到直线l的距离＝｜2×2－0×1｜/√（4＋1）＝4/√5，∴PM≧4/√5，∴√x≧4/√5，
∴x≧16/5＞2，∴x^2＞4。

对f（x）求导数，得：f′（x）＝1－2/x^2＝（x^2－2）/x^2＞0。
∴f（x）在区间［16/5，＋∞）上是增函数。
∴f（x）的最小值＝f（16/5）＝16/5＋2/（16/5）－3＝3＋1/5＋5/8－3＝13/40。
∴向量PA·向量PB的最小值是13/40。

Answer 2