Question

高中数学三角函数习题

在三角形ABC中,若三边的长为连续整数,且最大角是最小角的三倍,求三边长.

Answer 1

你确定题目没错吗？是三倍而不是二倍？
三倍的计算过程比二倍痛苦n倍，而且无解

无论如何，如果是三倍的话，计算过程如下：

解：
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
由题意设b=a+1 c=a+2

(1) 当A,B,C均为锐角时，由正弦函数在(0,π/2)上单调递增
最大角的正弦值最大，最小角的正弦值最小
最长边的对角为最大角，最短边的对角为最小角
(2) 当A,B,C中存在钝角时，显然钝角所对边为最长边。
同样有
最长边的对角为最大角，最短边的对角为最小角

故 C=3A
a*sinC=c*sinA 代入得
a*sin3A=(a+2)sinA
由三倍角公式sin3A=3*sinA-4*sin^3(A)
3a*sinA-4a*sin^3(A)=(a+2)sinA
(2a-2)sinA=4a*sin^3(A)
sin^2(A)=(a-1)/2a
cos^2(A)=1-sin^2(A)=(a+1)/2a

又由余弦定理
cosA=(b＾2+c＾2-a＾2)/2bc
=[(a+1)^2+(a+2)^2-a^2]/2(a+1)(a+2)
=(a^2+6a+5)/2(a+1)(a+2)
=(a+1)(a+5)/2(a+1)(a+2)
=(a+5)/2(a+2) (∵a≠-1)

故[(a+5)/2(a+2)]^2=(a+1)/2a
整理得
a^3-15a+8=0
无整数解。

原题无解
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如果是二倍的话，前面分析过程都一样，得到
b=a+1 c=a+2，C=2A
a*sinC=c*sinA 代入得
a*sin2A=(a+2)sinA
cosA=(a+2)/2a
又由余弦定理
cosA=(b＾2+c＾2-a＾2)/2bc =(a+5)/2(a+2)
故(a+2)/2a=(a+5)/2(a+2)
a=4
b=a+1=5
c=a+2=6