Question

如图，在三角形ABC中，AD垂直于Bc，BE垂直于Ac，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=Ac，求角ABc的大

如图，在三角形ABC中，AD垂直于Bc，BE垂直于Ac，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F，若BF=Ac，求角ABc的大小。

Answer 1

解：因为BE垂直AC于E
所以角BEC=90度
因为角BEC+角CBE+角C=180度
所以角CBE+角C=90度
因为AD垂直BC于D
所以角ADB=角BDF=角ADC=90度
因为角ADC+角CAD+角C=180度
所以角CAD+角C=90度
所以角CBE=角CAD
角BDF=角ADC=90度
因为BF=AC
所以三角形BDF和三角形ADC全等（AAS)
所以BD=AD
所以三角形ADB是等腰三角形
因为角ADB=90度（已证)
所以三角形ADB是等腰直角三角形
所以角ABC=45度

Answer 2

连接DE
因为AD垂直BC于D，BE垂直AC于E
所以C、D、F、E四点共圆
因为AD垂直BC于D，BE垂直AC于E
所以∠ADC＝∠BEC＝90°
所以∠CAD＋∠ACB＝∠CBE＋∠ACB＝90°
所以∠CAD＝∠CBE
又因为AC＝BF
所以△ACD≌△BFD（AAS）
所以DC＝DF
所以∠DEF＝∠DEC＝∠BEC/2＝90°/2＝45°
（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）
又因为∠ABC＝∠DEC（圆内接四边形外角等于内对角）
所以∠ABC＝45°

Answer 3

证明三角形BDF与三角形ADC全等
得到BD=AD
又因为角ADB=90°
所以角ABC=45°

Answer 4

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