Question

单摆运动的周期公式是什么怎么推得重在过程

Answer 1

单摆的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只与摆长和当地的重力加速度有关,与摆长的平方根成正比,与当地重力加速度的平方根成反比.
这个公式T=2π√(L/g)是根据弹簧振子的周期公式T=2π√(m/k)
推导出来的,因为单摆做简谐运动时的比例系数(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).
证明：
摆球的摆动轨迹是一个圆弧.设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ,则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ.设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l.所以,单摆的回复力为F=-mgx/l.
对于系统而言,m、g、l均为定值,故可认为k=mg/l,则F=-kx.
因此在单摆很小的情况下,单摆做简谐运动.
将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得单摆周期公式
T=2π√(l/g).

弹簧振子
F=-kx
a=d�0�5x/dt�0�5
=-(k/m)x=-ω�0�5x ω=√(k/m)
d�0�5x/dt�0�5+ω�0�5x=0
解微分方程
得：x=Acos(ωt+φ)
ω=2π/T
T=2π/ω=2π√(m/k)
单摆:
F切=ma=-mgsinθ a=ld�0�5θ/dt�0�5
ma=mld�0�5θ/dt�0�5=-mgsinθ
d�0�5θ/dt�0�5+(g/l)sinθ=0
θ<5° sinθ≈θ
d�0�5θ/dt�0�5+(g/l)θ=0 令ω�0�5=g/l
d�0�5θ/dt�0�5+ω�0�5θ=0
解微分方程：θ=θ0cos(wt+φ)
得：T=2π/ω=2π√(l/g)

Answer 2

M = - m * g * l * Sin x. 其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。 我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到， M = J * β. 其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。 于是化简得到 x'' * l = - g * Sin x. 我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程 x'' + Sin x = 0. 因为单摆的运动方程（微分方程）是 x'' + Sin x = 0…………（1） 而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是 x'' + x = 0………………（2）