Question

在证明对称区间上函数的定积分性质时的问题。

令x=-t，∫f(x)dx(-a→0)=∫f(-t)(-dt)(a→0)=∫f(-t)dt(0→a)=∫f(-x)dx(0→a)。其中为什么∫f(-t)dt(0→a)=∫f(-x)dx(0→a)？是直接将t换成x吗？如果是的话为什么可以直接替换而不用考虑x=-t？

Answer 1

这里的x和t都是假变量，在定积分中可以任意换不同的字母

至于为啥是换x而不是- x呢？这就是不定积分和定积分的分别
在不定积分的计算中，所有的换元都是暂时性的，在取积分后要根据还原等式回代
所以∫ f[g(x)]g'(x) dx，令u = g(x)，du = g'(x) dx
==> ∫ f(u) du = F(u) + C
==> ∫ f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C，F(x)为f(x)的原函数
在定积分的计算中，所有的换元都是永久性的，它们的换元变化都移到积分限上，所以积分后可以直接沿用结果中的字母。当然，你亦可以先找出原函数然后再带入上下限，只是积分限没改变。
例如∫(a→b) f[g(x)]g'(x) dx，令u = g(x)，du = g'(x) dx
当x = a，u = g(a)；当x = b，u = g(b)
==> ∫(g(a)→g(b)) f(u) du = [F(u)]：(g(a)→g(b)) = F[g(b)] - F[g(a)]
==> ∫(a→b) f[g(x)]g'(x) dx = F[g(b)] - F[g(a)]
这和直接找出原函数后再带入a和b的做法没分别。

Answer 2

因为那只是字母啊 只是代表一个自变量 不用管它是x还是t还是y