Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),

已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件：f（x+1）=-f（x），且在[-1,0]上市增函数…其中正确的命题序号是①f（x）是周期函数
②f（x）的图像关于直线x=1对称
③f（x）在[0,1]上是增函数
④f（x）在[1,2]是减函数
⑤f（2）=f（0）
其中正确的命题序号是

希望能给我解释一下每项为什么对为什么错，谢谢

Answer 1

①正确：因为f(x+1)=-f(x)，所以f(x)=-f(x-1)，所以f(x+1)=f(x-1),变量整体(x+1)与(x-1)
相关2而函数值相等，所以是以2为周期的函数。
②正确：因为f(x)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x-1)，又因为周期为2，所以f(-x-1)=f(-x+1),
所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称。
③错误：偶函数在其对称区间内的单调性是相反的，在[-1,0]是增函数，对称区间[0,1]上是减函数。
④错误：因为函数的周期是2，在[-1,0]是增函数，加一个周期刚好是[1,2],所以在[1,2]上是增函数。
⑤正确：甚为函数的周期是2。

追问

所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称。
为什么？

追答

设f(x+1)=f(-x+1)=y,则f(x)的图象过点A(x+1,y)和点B(-x+1,y),设它们的中点为C，
则点C的坐标为(1，y),这说明点C的横坐标恒为1，即点C的轨迹为直线x=1,
而点A和B具有任意性，所以函数的图象关于x=1对称。

Answer 2