Question

设n是正整数，且使得 1/（1+n）+1/（4+n)+1/(9+n)≥1/7，求n的最大值。

Answer 1

当n=16时：原式=1/17+1/20+1/25=1/(21-4)+1/20+1/(21+4)=1/20+[(21+4)+(21-4)/(21²-4²)
=1/20+2/(21-16/21)＞1/21+2/21=1/7
当n=17时：原式=1/18+1/21+1/26=1/(22-4)+1/21+1/(22+4)=1/21+[(22+4)+(22-4)]/(22²-4²)
=1/21+2/(22-16/22)＜1/21+2/21=1/7
故：n的最大值为16 。
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追问

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追答

首先，我们要求的是：n>0,令s=1/(1+n)+1/(4+n)+1/(9+n)>=1/7.
1/(1+n)>1/(4+n)>1/(9+n),则3/(9+n)1/7,解得n1/7=0.1429
所以n的最大值为n=16
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Answer 2

1/(n+1)+1/(n+9)=2(n+5)/(n+1)(n+9)=2(n+5)/[(n+5)^2-16]>2(n+5)/(n+5)^2=2/(n+5)，
1/(n+4)>1/(n+5)，
——》 1/(1+n)+1/(4+n)+1/(9+n)>3/(n+5)，
——》3/(n+5)>=1/7
——》n<=16，
即n的最大值为16。

追问

第一步就没看懂
能详细点吗
解释一下

追答

1/(n+1)+1/(n+9)=[(n+1)+(n+9)]/(n+1)(n+9)
=2(n+5)/[(n+5)-4][(n+5)+4]
=2(n+5)/[(n+5)^2-16]
>2(n+5)/(n+5)^2=2/(n+5)，