Question

高中虚数求值问题

已知关于t的一元二次方程t²+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0，x,y∈R
当方程有实数根时，求点（x,y）的轨迹方程
求方程的实根的取值范围

Answer 1

当t为实数, 对等式取实部得t²+2t+2xy = 0, 取虚部得t+x-y = 0, 即t = y-x.
代入得(y-x)²+2(y-x)+2xy = 0, 即得轨迹方程x²-2x+y²+2y = 0, 也即(x-1)²+(y+1)² = 2.

要求实根t的取值范围, 即求y-x的取值范围, 这个方法有很多.
比如从几何上知道当y = x+b与圆(x-1)²+(y+1)² = 2相切时, b取得最大最小值.
又比如将y = x+t代入方程, 作为关于x的一元二次方程解判别式Δ ≥ 0的不等式.
还可以由不等式(a+b)² ≤ 2(a²+b²)得到:
(y-x+2)² = ((y+1)-(x-1))² ≤ 2((x-1)²+(y+1)²) = 4, 故-4 ≤ y-x ≤ 0.
当x = y = 0和x = 2, y = -2时分别取得两边的等号.
故实根t的取值范围为[-4,0].