Question

同济第五版线性代数在证明矩阵的秩等于列向量的秩时，我有个疑问，过程是这样的

证：设A=（a1，a2，....am）R（A）=r ，并设r阶子式Dr不等于0。那么由Dr不等于0知Dr所在的列线性无关。又由任意r+1阶子式均为零，知A中任意r+1个列向量都线性相关。我的疑问是它是怎么由r+1阶子式均为零，得到A中任意r+1列都线性相关，我觉得由r+1阶子式均为零，只能得到这r+1阶行列式的元素所构成的矩阵是线性相关的，而不能得到它所在的r+1列是线性相关的，也就是说原来的向量是线性相关的，那么增加维数后，它不一定是线性相关的。
注意这是证明矩阵的秩是等于行向量的秩且等于列向量的秩，所以不要搞混淆了啊，不能直接用行秩等于列秩等于矩阵的秩序！

Answer 1

这有一个严格证明

首先 Dr 所在列线性无关

其次A的其余列可则Dr所在列线性表示

不妨设Dr位于A的左上角

Answer 2

它是怎么由r+1阶子式均为零，得到A中任意r+1列都线性相关-------------------注意到任一r+1阶子式均为零，而不是特殊的一个r+1阶子式为零。
增加维数后，它不一定是线性相关的----------------用反证法，若不是线性相关的，那么就至少有一个r+1阶子式不为零，从而得出矛盾。