Question

讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性

y(x)=x^2*sin(1/x) x＞0
0 x=0
x^2*cos(1/x) x＜0 在x=0处的连续性和可导性

连续性：左极限lim（x趋于0正）=x^2*sin(1/x)和右极限lim(x趋于0负)x^2*cos(1/x)，这两个极限到底存不存在？
可导性：f'+(0)=lim(x趋于0正)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*sin(1/x)和f'-(0)=lim(x趋于0负)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*cos(1/x)，这两个极限存不存在？

或者还是求完整地解答过程吧

Answer 1

无穷小和有界函数相乘结果是无穷小
sin(1/x)和cos(1/x)均为有界函数
故lim(x→0)x^2*sin(1/x)=lim(x→0)x^2*cos(1/x)=lim(x→0)x*sin(1/x)=lim(x→0)x*cos(1/x)=0
故在x=0处连续、可导
PS:左为从数轴左边趋近，应趋近（0-），右为从数轴右边趋近，应趋近（0+）。