Question

已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3,其中k为常数，k不等于0.

（1）若f(2)=3,求函数f(x)的表达式（2）在（1）的条件下，设函数g(x)=f(x)-mx,若g(x)在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围（3)是否存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出k的值。若不存在，说出理由！

Answer 1

解：（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x2+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=2-m2
∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴2-m2≤-2或2-m2≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为x=-3+k2k
①k＞0时，函数图象开口向上，x=-3+k2k＜0，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k=-1120＜0，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下，x=-3+k2k=-12-32k＞-12，
1°若-12＜-3+k2k≤4，即k≤-13时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（-3+k2k）=12k-(k+3)24k=4
∴k2+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若-3+k2k＞4，即-13＜k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴k=-1120＜-13，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．

Answer 2

1)将f(ⅹ)=3，ⅹ＝2代入得 3= 4k+6+2k+3 解得k=－1 ∴表达式为f(x)=－x^2+2x+3
（2）由题得g(x)=－x^2+2x+3－mx=-x^2+(2-m)x+3∵g(x)在区间[-2，2]上是单调函数
∴-b／2a﹤-2或-b／2a＞2 即（2-m）／2＜-2或（2-m）／2＞2解得m＞6或m＜-2
（3）存在 步骤太多打不出来 先求最高点y值等于4得出的k代入对称轴方程看求的x值是否属于
[-1,4] ，属于求出一个k值，然后分别假设对称中心小于-1将x=-1y=4代入或对称中心大于4将x=4y=4代入看是否有k值，最后总结。