Question

高中数学 求导

Answer 1

f=uv，则f'=u'v+vu'
f'(x)=-e^(-x)(a+ex-x^2)+e^(-x)(e-2x)
=e^(-x)[x^2-(e+2)x+(e-a)]
e^(-x)恒为正，
若(e+2)^2-4(e-a)≤0，a≤e-(e+2)^2/4
则有x^2-(e+2)x+(e-a)≥0，f(x)在R上单增
若(e+2)^2-4(e-a)>0，a>e-(e+2)^2/4
则当{(e+2)-√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2<x<{(e+2)+√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2时，
x^2-(e+2)x+(e-a)<0，f(x)单减，
当x<{(e+2)-√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2或x>{(e+2)+√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2时，
x^2-(e+2)x+(e-a)>0，f(x)单增。

Answer 2

乘积函数求导f=uv，则f'=u'v+vu'
f'(x)=-e^(-x)(a+ex-x^2)+e^(-x)(e-2x)
=e^(-x)[x^2-(e+2)x+(e-a)]
e^(-x)恒正，只需讨论x^2-(e+2)x+(e-a)的正负即可。
若(e+2)^2-4(e-a)≤0，a≤e-(e+2)^2/4
则x^2-(e+2)x+(e-a)≥0，f(x)在R上单调增
若(e+2)^2-4(e-a)>0，a>e-(e+2)^2/4
则当{(e+2)-√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2<x<{(e+2)+√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2时，
x^2-(e+2)x+(e-a)<0，f(x)单调减，
当x<{(e+2)-√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2或x>{(e+2)+√[(e+2)^2-4(e-a)]}/2时，
x^2-(e+2)x+(e-a)>0，f(x)单调增。