Question

已知函数fx=log2 1＋x/1-x，若关于x的方程fx=log2（x-k）有实根，求k的取值范围

已知函数f（x）=log2^[(1-x)/（1+x)]，判断并证明f（x）的奇偶性；若关于x的方程f(x)=log2^(x-k）有实根，求实数k的取值范围：问：方程f（x)=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度为1/8的区间（a，b）；如果没有，请说明理由。

Answer 1

1）解:奇函数 函数定义域:(1-x)/(1+x)>0 定义域：（-1，1）
则f(-x)=log2^[(1+x)/（1-x)]，-f（x）=-log2^[(1-x)/（1+x)]=log2^[(1+x)/（1-x)],f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数2）方程f(x)=log2^(x-k)有实根，，也就是方程(1-x)/（1+x)=x-k,即k=x- (1-x)/（1+x)在(-1,1)内有解所以实数k属于函数y=x-(1-x)/（1+x) =x+1- 2/(1+x) 在(-1,1)内的值域。设x+1=t，则t∈(0,2)，因为y=t-2/t在(0,2)内单调递增,所以t-2/t∈(-∞,1)故实数k的取值范围是(-∞,1)3）设g(x)=f(x)-x-1=log2^[(1-x)/（1+x)-x-1](-1<x<1)。因为 (5/3)^4=625/81＜8=2^3，且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增，所以log2 [（5/3）^4]<log223，即4log2 (5/3)<3，亦即log2 (5/3)< 3/4。于是g(-1/4 )=log2 (5/3)-3/4 <0。 ① 又∵g(- 3/8)=log2^(11/5)- 5/8>1- 5/8>0。 ② 由①②可知，g(-1/4 )·g(- 3/8)<0，所以函数g(x)在区间(-3/8- 1/4)有零点x0。即方程f(x)=x+1在(-3/8,-1/4) 内有实根x0 ,该区间长度为1/8, 因此，所求的一个区间可以是 (-3/8,-1/4)