Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且满足条件：⒈f(xy)=f(x)+f(y)；⒉f(2)=1；⒊在(0,+∞)上是增函数.

如果f(2)+f(x-3)<=2，求x的取值范围。

Answer 1

解：∵对一切x∈(0,+∞)均有f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=2
则f(4)=2f(2)=2
则有f(2)+f(x-3)≤2=f(4)
等价于：f[2(x-3)]<=f(4),x-3>0,x>0
因为f(x)为(0,+∞)上的增函数
则原不等式等价于：
2(x-3)<=4
2x-6<=4
2x<=10
x<=5
因为x-3>0,x>0
解这个不等式组得：
3<x<=5
即为所求。
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Answer 2

解：f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(2)+f(x-3)≤2, f(2*(x-3))≤f(4),
因为递增，所以2*(x-3)≤4且x-3>0

0<x-3≤2 所以3<x≤5

Answer 3

x属于(3,5]