Question

如果根号n中的n是一个非完全平方数的整数,那么这个根号n一定是无理数吗?是或否要怎样证明呢?

Answer 1

当n大于等于0时，一定是。用反证法：假设根号n是有理数。令y=根号n,则y也是有理数，两边平方，y^2=n,得出n是一个完全平方数，与题设矛盾，所以根号n一定是无理数。

证明：假设√p是有理数，令：√p=a/b，其中a、b、p都是正整数，两边同时平方，得：

p=a²/b²

a²=p*b²

由上式可以看出，左边是个完全平方数，而右边b²也是完全平方数，但p不是完全平方数，也就是说上式两边不可能相等的。

定义

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。

Answer 2

• 若N是正整数，则根号N不是无理数就是正整数

  证明：假设√p是有理数，令：√p=a/b，其中a、b、p都是正整数，两边同时平方，得：
  p=a²/b²
  a²=p*b²
  由上式可以看出，左边是个完全平方数，而右边b²也是完全平方数，但p不是完全平方数，也就是说上式两边不可能相等的。
  因此，√p只能是无理数。
  

Answer 3

当n大于等于0时，一定是。用反证法：假设根号n是有理数。令y=根号n,则y也是有理数，两边平方，y^2=n,得出n是一个完全平方数，与题设矛盾，所以根号n一定是无理数，望采纳