Question

已知函数fx=alnx-ax-3(a∈R)，函数fx的图像在x=4处切线的斜率为3/2，若函数gx=1/3x^3+x^2[f‘（x）+m/2]

已知函数fx=alnx-ax-3(a∈R)，
（1）求函数fx的单调区间
（2）函数fx的图像在x=4处切线的斜率为3/2，若函数gx=（1/3）x^3+x^2[f‘（x）+（m/2）]在区间（1,3）上不是单调函数，求m的取值范围

Answer 1

解：因为x＞0

所以f’（x）=-a=

令f’（x）==0，解得x=1

    所以1：当a＞0时

得表格

所以f（x）的单调增区间为(0，1]，单调减区间为[1，+∞）

2：当a＜0时

得表格

所以f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为(0，1]

3：当a=0时

f’（x）=0

综上所述，当a＞0时，f（x）的单调增区间为(0，1]，单调减区间为[1，+∞）

          当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为 (0，1]

第（2）问稍等，好麻烦、、、、

Answer 2

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
 f'（x）=a(1−x)x   …（2分）
由 f'（4）=-3a4=32 得a=-2   …（4分）
所以f'（x）=2x−2x（x＞0）
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1]…（6分）
当a=-2时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a=-2时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
（2）g（x）=13x3+(m2+2)x2−2x                    …（7分）
g'（x）=x²+（m+4）x-2                  …（8分）
因为g（x）在（1，3）不单调，且g'（0）=-2   …（9分）
所以 g′(1)＜0g′(3)＞0         …（11分）
即 m＜−3m＞−193         …（12分）
所以m∈（-19/3，-3）．