Question

圆锥曲线一共有多少个定义

Answer 1

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有两种定义：
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；
2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的
准线和焦点的作用和意义是一样的，都是用来确定椭圆、双曲线、抛物线的形状以及位置的．x=a方/c
离心率统一定义是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比
椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
离心率＝(ra-rp)/(ra+rp)，ra指远点距离，rp指近点距离。
圆的离心率=0
椭圆的离心率：e=∈c/a(0,1)（c,半焦距；a,长半轴(椭圆)/实半轴(双曲线) ）
抛物线的离心率：e=1
双曲线的离心率：e=∈c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,长半轴(椭圆)/实半轴(双曲线) ）

追问

高二时老师还提到其他的几种，当时没记下来。记得有一种是曲线上一点连接两个顶点的直线的斜率乘积分几种情况。还有没有其他的。谢谢你的回答。

追答

那不妨证明一下：一般性设双曲线的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),
两个顶点的坐标分别为（-a,0),(a,0),双曲线上任意一点坐标为P(xo,yo)
∴双曲线上的点到两个顶点的连线的斜率的乘积=[yo/(xo+a)][yo/(xo-a)]=yo^2/(xo^2-a^2)
=b^2/a^2, 其中yo^2=(xo^2-a^2)*b^2/a^2
∴双曲线上的点到两个顶点的连线的斜率的乘积=定值=b^2/a^2