Question

若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，求1/a+2/b的最小值

Answer 1

【参考答案】

由于直线平分圆的周长，所以直线恒过圆心（2,1）
把（2,1）代入直线，得
2a+2b-2=0
即 a+b=1
∴ 1/a+2/b
=(1/a+2/b)(a+b)
=3+(b/a)+(2a/b)
≥3+2√[(b/a)(2a/b)]
=3+2√2
即 最小值是3+2√2

Answer 2

圆x^2+y^2-4x-2y-8=0
即：(x-2)^2+(y-1)^2=13
直线始终平分圆周长，也就是过圆心嘛
将x=2,y=1 代入ax+2by-2=0
得a+b=1(1)
设1/a+2/b=k((2)
将(1)代入(2)整理得：
ka^2+(1-k)a+1=0
Δ=(1-k)^2-4k=k^2-6k+1=(k-3)^2-8≥0
k≥3+2√2或k≤3-2√2
由于k 是正数，且直线始终过圆心
故k最小值为：3+2√2
或1/a+1/b=(1/a+1/b)(a+b)
=3+b/a+2a/b≥3+2√2

Answer 3

直线过圆心（2，1），带入方程得a+b=1，（a+b）*（1／a+2／b）再用基本不等式解答